Subject: Re: [HM] the term 'arithmetization'
From: Julio Gonzalez Cabillon (jgc@adinet.com.uy)
Date: Fri Dec 31 1999 - 14:13:44 EST
Dear Bill, & other friends,
At 08:58 AM 31/12/1999 EST, you asked:
"Am I right in assuming that Mic Detlefsen means (by "Kronecker's Essay
of 1887") Kronecker, "Ueber den Zahlbegriff" in Crelle's, 101(1887)...?"
Yes, indeed. The key-text is:
... ich glaube auch, dass es dereinst gelingen wird, den
gesammten Inhalt aller dieser mathematischen Disciplinen
zu "arithmetisiren", d.h. einzig und allein auf den im
engsten Sinne genommenen Zahlbegriff zu gruenden, also
die Modificationen und Erweiterungen dieses Begriffs
wieder abzustreifen ...
For completeness I include below the first lines of "Ueber den Zahlbegriff"
(von L. Kronecker) which provide further context:
"Auf dem freien Plane philosophischer Vorarbeit, aus welchem man in die
eingehegten Gebiete der verschiedenen Wissenschaften gelangt, sind auch
die Begriffe der Zahl, des Raumes und der Zeit zu entwickeln, von welchen
in der Mathematik Gebrauch gemacht wird. Und es erscheint zweckmaessig,
die Entwickelung dort so weit zu fuehren, dass die Begriffe schon mit ihren
Grundeigenschaften ausgestattet sind, wenn die specialwissenschaftliche
Behandlung beginnt.
So soll dies hier in Beziehung auf den Zahlbegriff geschehen, den
einfachsten jener drei Begriffe, dessen dominirende Stellung _Jacobi_ in
einem seiner Briefe an _Alexander v. Humboldt_ sehr schoen hervorgehoben
hat.
"Ein Alter" - so beginnt einer dieser Briefe - "vergleicht die Mathematiker
mit den Lotophagen. Wer einmal, sagt er, die Suessigkeit der mathematischen
Ideen gekostet, kann nicht mehr davon ablassen. Schreiben Sie also meinen
vorigen Brief der Raserei zu, in welche jene Lotosfresser versinken, wenn
sie den Cultus jener Ideen vernachlaessigt oder sie nur ihrer zufaelligen
Anwendungen wegen geschaetzt glauben. Und sagt nicht Aehnliches schon
_Schiller_ in den Xenien in seinem kleinen Gedicht
Archimedes und der Juengling
Zu Archimedes kam ein wissbegieriger Juengling,
Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die goettliche Kunst,
Die so herrliche Dienste der Sternenkunde geleistet,
Hinter dem Uranos noch einen Planeten entdeckt.
Goettlich nennst Du die Kunst, sie ist's, versetzte der Weise,
Aber sie war es, bevor noch sie den Kosmos erforscht,
Ehe sie herrliche Dienste der Sternenkunde geleistet,
Hinter dem Uranos noch einen Planeten entdeckt.
Was Du im Kosmos erblickst, ist nur der Goettlichen Abglanz,
In der Olympier Schaar thronet die ewige Zahl."
In dieser geistvollen Parodie des _Schiller_schen Gedichts "Archimedes
und der Schueler" bezeichnet _Jacobi_ die Stellung des Zahlbegriffs in
der gesammten Mathematik echt poetisch aber auch genau zutreffend und ganz
aehnlich wie _Gauss_ in den Worten: "Die Mathematik sei die Koenigin der
Wissenschaften und die Arithmetik die Koenigin der Mathematik. Diese lasse
sich dann oefter herab, der Astronomie und andern Naturwissenschaften einen
Dienst zu erweisen, doch gebuehre ihr unter allen Verhaeltnissen der erste
Rang".
In der That steht die Arithmetik in aehnlicher Beziehung zu den anderen
beiden mathematischen Disciplinen, der Geometrie und Mechanik, wie die
gesammte Mathematik zur Astronomie und den andern Naturwissenschaften; auch
die Arithmetik erweist der Geometrie und Mechanik mannigfache Dienste und
empfaengt dagegen von ihren Schwester-Disciplinen eine Fuelle von Anregungen.
Dabei ist aber das Wort "Arithmetik" nicht in dem ueblichen beschraenkten
Sinne zu verstehen, sondern es sind alle mathematischen Disciplinen mit
Ausnahme der Geometrie und Mechanik, also namentlich die Algebra und
Analysis, mit darunter zu begreifen. Und ich glaube auch, dass es dereinst
gelingen wird, den gesammten Inhalt aller dieser mathematischen Disciplinen
zu "arithmetisiren", d.h. einzig und allein auf den im engsten Sinne
genommenen Zahlbegriff zu gruenden, also die Modificationen und
Erweiterungen dieses Begriffs wieder abzustreifen, welche zumeist durch die
Anwendungen auf die Geometrie und Mechanik veranlasst worden sind. Der
principielle Unterschied zwischen der Geometrie und Mechanik einerseits
und zwischen den uebrigen hier unter der Bezeichnung "Arithmetik"
zusammengefassten mathematischen Disciplinen andererseits besteht nach
_Gauss_ darin, dass der Gegenstand der letzteren, die Zahl, _bloss_ unseres
Geistes Product ist, waehrend der Raum ebenso wie die Zeit auch _ausser_
unserem Geiste eine _Realitaet_ hat, der wir a priori ihre Gesetze nicht
vollstaendig vorschreiben koennen." [ Note: I have omitted the footnotes! ]
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And, certainly, the expression "Arithmetisirung der Mathematik" (as such)
was introduced by Felix Klein in 1895 during his address before the
_Koeniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen_ [i.e. The Royal
Society of Sciences, Goettingen].
The first words of this speech (which I translate freely, but I hope
correctly!) were:
"Dear Sirs,
Any particular theory of the Mathematical Science ... could be beyond the
understanding of those that are alien to its study and, consequently, not
interested in it, but the mathematician, however, must try to announce the
general points of view under which he sees the development of his Science.
More importantly, these views should make it possible to specify their
correlation with the neighbouring scientific fields. On this occasion I
would also like to try to give an opinion with respect to this significant
mathematical direction, which has Mr Weierstrass as the main representative,
of whom we come of celebrating his eightieth anniversary. I speak about
the _Arithmetization of Mathematics_. But, before, I must give some
explanations in connection with the origins and tendencies of this kind
of ideas."
.
.
.
"I would like to define all these developments by just one word:
_Arithmetization of Mathematics_." ...
.
.
.
And the closing paragrah of Klein's address was as follows:
"I compare mathematical Science with a tree of which its roots are rooted
more deeply in the ground each day, whereas above the branches extend
freely and cast their shadows on us. Do we have to regard either the roots
or the branches as the most essential part? The botanist teaches us that
the question is wrongly posed and that the life of the organism depends
instead on _the mutual exchange between its various_ parts."
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Cuando era un nin~o imaginaba el 2000 tan distante, tan lejano. Imaginaba
muchas otras cosas que supuestamente existirian al finalizar este milenio,
pero que hoy estan muy lejos aun en nuestro horizonte - la realidad no
supero pues mi fantasia. Pero no por ello dejare de reconocer que los
juguetes de la tecnologia actual (y *ahora* no quisiera ir mas alla de
aquellos que a este foro conciernen) han desbordado mis mas optimistas
especulaciones juveniles. La posibilidad cierta de 'conversar' con gente
'so nice', de tantas y tan diversas regiones de este planeta ('en tiempo
real', como se dice hoy), es un privilegio (asi lo siento) que jamas
hubiese podido vislumbrar en mi epoca de estudiante. Claramente, en esto
la realidad si ha vencido mi capacidad de asombro. Muchisimas gracias a
todos, especialmente a quienes dia tras dia colaboran para que este foro
de discusion sea una verdadera y valiosa 'virtualidad real'.
Desde un hermoso, soleado y especial dia de verano, reciban todos ustedes
mis mas afectuosos saludos,
Julio Gonzalez Cabillon
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