Subject: [HM] Bolzano and continuity 2 (of 5)
From: Walter Felscher (walter.felscher@uni-tuebingen.de)
Date: Wed Jan 12 2000 - 15:59:55 EST
Section 2.
In the first paragraphs of the book, Bolzano considers series of
which he assumes without further discussion that they have a
'value'. In particular, in para.5 he considers series with the
property that
die Ver"anderung (zu- oder Abnahme), welche ihr Werth durch eine
auch noch so weit getriebene Fortsetzung ihrer Glieder erleidet,
immer kleiner verbleibt, als eine gewisse Gr"osze, die wieder selbst
so klein, als man nur immer will, angenommen werden kann, wenn man
die Reihe schon vorher weit genug fortgesetzt hat
i.e. in our terminology:
for every e>0 there is an r such that for all s :
|Sum(r+s) - Sum(r)| < e ,
and observes that to them belong the series whose members are (1)
those of a geometric progression with a proper fraction as exponent
or (2) decrease even faster. Because, he computes, for the series
a + ae + ae^2 + ... there holds
Sum(r) = a.(1 - e^r+1)/(1-e) ,
Sum(r+s) - Sum(r) = a.(e^r+1).(1 - e^s)/(1-e)
and for -1 < e < 1 that difference is below a.(e^r+1).2/(1-e) which
decreases arbitrarily with increasing r .
In para.7 a criterion of convergence is stated:
Lehrsatz. Wenn eine Reihe von Gr"oszen
F_1(x), F_2(x), F_3(x),...,F_n(x),..., F_n+r(x),
[ F_n+r(x) : F with lower index n+r] von der Beschaffenheit ist,
dasz der Unterschied zwischen ihrem nten Gliede F_n(x) und jedem
sp"ateren F_n+r(x), sey dieses von jenem auch noch so weit entfernt,
kleiner als jede gegebene Gr"osze verbleibt, wenn man n grosz genug
angenommen hat: so gibt es jedesmahl eine gewisse best"andige Gr"osze,
und zwar nur eine, der sich die Glieder dieser Reihe immer mehr
n"ahern, und der sie so nahe kommen k"onnen, als man nur will, wenn
man die Reihe weit genug fortsetzt.
Theorem: if a sequence of magnitudes
F_1(x), F_2(x), F_3(x),...,F_n(x),..., F_n+r(x),
has the property that the difference betwenn its n-th member
F_n(x) and every later F_n+r(x), even if it is far away from
that, remains below any given quantity once n has been chosen
sufficiently large, then there exists always a certain constant
magnitude, and only one, which the members of the sequence
continue to approach, and to which they come as near as desired
if the sequence is continued far enough.
Beweis. Dasz eine solche Reihe, wie sie der Lehrsatz beschreibt,
m"oglich sey, erhellet aus para.6 . Die Annahme aber, dasz die Gr"osze
X vorhanden sey, der sich die Glieder dieser Reihe bey immer
weiterer Fortsetzung so sehr, als man nur immer will, n"ahern,
enth"alt auch gewisz nichts Unm"ogliches, wenn man noch nicht
voraussetzt, dasz diese Gr"osze nur eine einzige und unver"anderliche
sey. [p.36] Denn wenn es eine Groesze, welche sich "andern darf, seyn
soll; so wird man sie freylich jederzeit so annehmen k"onnen, dasz
sie dem Gliede F_n(x), welches man eben jetzt mit ihr vergleicht,
recht nahe kommt, ja mit ihm v"ollig einerley ist. Dasz aber die
Voraussetzung auch einer unver"anderlichen Gr"osze, die diese Eigenschaft
der Ann"aherung an die Glieder unserer Reihe hat, keine Unm"oglichkeit
enthalte; folgt daraus, weil es bey dieser Voraussetzung m"oglich
wird, diese Gr"osze so genau, als man nur immer will, zu bestimmen.
Denn gesetzt, man wollte X so genau bestimmen, dasz der Unterschied
zwischen dem angenommenen und dem wahren Werthe von X eine auch
noch so kleine gegebene Gr"osze d nicht "uberschreitet: so suche man
nur in der gegebenen Reihe ein Glied F_n(x) von der Beschaffenheit
aus, dasz jedes folgende F_n+r(x) von ihm um weniger als +_d verschieden
sey. Ein solches F(x) musz es nach der Voraussetzung geben. Ich sage
nun, der Werth von F_n(x) sey von dem wahren Wert der Gr"osze X h"ochstens
um +_d verschieden. Denn wenn man bey einerley n, r nach Belieben
vergr"oszert, so musz der Unterschied X - F_r+1(x)=+_w (w: omega) so
klein werden k"onnen, als man nur immer will. Der Unterschied F_n(x)
- F_n+r(x) bleibt aber jederzeit, so grosz man r auch nehme, < +_d .
[p.37] Also musz auch der Unterschied
X - F_n(x) = (X - F_n+r(x)) - (F_n(x) - F_n+r)(x))
jederzeit < +_(d+w) verbleiben. Da aber derselbe bey einerley n
eine best"andige Gr"osze ist, w dagegen durch die Vergr"oszerung von r
so klein gemacht werden kann, als man nur immer will: so musz X - F_n(x)
= oder < +_d seyn. Denn w"are es gr"oszer und z.B. = +_(d+e); so k"onnte
unm"oglich das Verh"altnisz d+e < d+w , d.h. e<w bestehen, wenn man w
immer mehr verkleinert. Der wahre Werth von X ist also von dem Werthe,
den das Glied F_n(x) hat, h"ochstens um d verschieden und l"aszt sich
daher, da man d nach Belieben klein annehmen kann, so genau, als
man nur immer will, bestimmen. Es gibt also eine reelle Gr"osze, der
sich die Glieder der von uns besprochenen Reihe so sehr, als man
nur immer will, n"ahern, wenn man sie weit genug fortsetzt. Aber nur
eine einzige dergleichen Gr"osze gibt es. Denn n"ahmen wir an, dasz es
nebst X noch eine andere best"andige Gr"osze Y g"abe, der sich die
Glieder der Reihe so sehr, als man nur immer will, wenn man sie weit
genug fortsetzt: so m"uszten die Unterschiede X - F_n+r(x) = w (w: omega),
und Y - F_n+r(x) = w_1 (w_1 : omega index 1), so klein werden k"onnen,
als man nur immer will, wenn man r grosz genug werden liesze. [p.38]
Dasselbe m"uszte also auch von ihrem eigenen Unterschiede, d.h. von X - Y =
w - w_1 gelten; welches, wenn X und Y best"andige Gr"oszen seyn sollen,
unm"oglich ist, falls man nicht X=Y voraussetzt.
Proof. It follows from para.6 that a sequence such as described
in the theorem is possible [commentary: namely as the sequence of
partial sums of a series from para.5 ]. Nothing impossible is
contained in the assumption that the magnitude X exists which the
members of the sequence, when further continued, approach arbitrarily,
as long as one does not assume X to be constant and unique. Because
if X may vary then we may always assume it to be near, or even equal
to the member F_n(x) with which it is to be compared. But neither
does the assumption contain an impossibility that there is a constant
magnitude which has this property of approximation to the members of
our sequence, for in that case we may determine X as precisely as
desired. Because assume one wants to determine X with such precision
that the difference between the assumed and the true value of X is
not larger than a given small magnitude d : then determine in the
sequence a member F_n(x) such that every later F_n+r(x) differs
from it less than +_d . Such member must exist by hypothesis. I now
claim that F_n(x) differs from the true value of X at most by +_d .
Because if n is fixed and r is enlarged then the difference X -
F_r+1(x)=+_w [comment: this should be F_n+r(x) in place of F_r+1 ]
becomes as small as desired. But the difference F_n(x) - F_n+r(x)
remains < +_d how large r may be. Thus also the difference
X - F_n(x) = (X - F_n+r(x)) - (F_n(x) - F_n+r)(x))
remains < +_(d+w). But this is a constant if n is fixed, while w
becomes arbitrarily small if r is enlarged. Thus X - F_n(x) is =
or < than +_d . Because would it be larger and e.g. = +_(d+e)
then the relationship d+e < d+w , i.e. e<w would become impossible
if w is made small. So the true value of X differs from F_n(x) at
most by d and can be determined as precisely as wanted since d
can be taken arbitrarily small. Thus there is real magnitude to
which approach the members of our sequence as closely as wanted
if continued sufficiently far. But there also is only one such
magnitude. Because would Y be another such constant magnitude then
the differences X - F_n+r(x) = w and Y - F_n+r(x) = w_1 would become
arbitrarily small if r were chosen sufficiently large. The same then
would hold for their own difference, i.e. for X - Y = w - w_1 , and
as X and Y are constants this is impossible unless we have X = Y .
It is not quite clear to this author what precisely is meant by Bolzano's
words in the first case considered (Nothing impossible ...) that the
magnitude X "may vary" ("eine Groesze, welche sich aendern darf"), but that
presumably may be disregarded. What matters is the second case of a
constant X , and here Bolzano does not establish directly the existence
of X but assumes X to exist, and to be approached arbitrarily by the
members of his sequence, and then claims that this assumption does not
lead to an impossibility. Actually he shows that under this assumption
X can be determined with arbitrary precision (in the course of which he
distinguishes between the true and an approximate value of X ). So his
argument apparently assumes (silently) that the true X 'exists', say in
the form of an infinite decimal expression, if it can be determined up
to any arbitrary d .
In para.9 Bolzano applies the criterion from para.7 to the series
from para.5 .
[p.39] Zusatz. Wenn also irgend eine gegebene Reihe von der
Beschaffenheit ist, dass jedes einzelne ihrer Glieder endlich, die
Ver"anderung aber, die sie durch eine auch noch so weit getriebene
Fortsetzung erf"ahrt, kleiner als jede gegebene Gr"osze ausf"allt,
sobald man nur die Anzahl ihrer bisherigen Glieder grosz genug
genommen hat: so gibt es jederzeit eine, aber auch nur eine
best"andige Gr"osze, welcher der Werth dieser Reihe so nahe tritt, als
man nur immer will, wenn man sie weit genug fortsetzt. Denn eine
solche Reihe ist von der Art der para.5 beschriebenen, und folglich
bilden die Werthe, welche die Summe ihrer n , n+1 , ... Glieder
ersteigt, eine Reihe, wie die der para.para.6 und 7 ; mithin k"ommt
ihnen auch die para.7 erwiesene Eigenschaft zu.
Additional remark. If a given series is such that each of its
members is finite, while the change it undergoes under arbitrary
continuation becomes smaller than any given magnitude if only the
number of its members has been taken sufficiently large, then
there is one, and only one, constant magnitude to which the value
of the series comes arbitrarily near if only it is continued
sufficiently far. Because such series is of the kind described in
para.5 , and so the values of the sums of its first n , n+1 , ...
members form a sequence as in para.para.6 and 7 ; hence they also
have the property shown in para.7 .
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