Subject: [HM] Bolzano and continuity 4 (of 5)
From: Walter Felscher (walter.felscher@uni-tuebingen.de)
Date: Wed Jan 12 2000 - 16:01:52 EST
Section 4.
The general theorem about continuous functions, to which the theorem
of the title was reduced at the begin of the introduction, is taken
up in para.15 . It employs the same notations as used in the introduction
and begins with
[p.52] I. Man nehme erstlich an, dasz a und b beyde positiv sind,
und dasz (weil dies dann gleichg"ultig ist) b die gr"oszere von
beyden, und somit b=a+i sey, wo i eine positive Gr"osze anzeigt.
Weil nun f(a)<g(a) ist; so ist auch, wenn w [omega] eine positive
Gr"osze anzeigt, die so klein werden kann, als man nur immer will,
f(a+w)<g(a+w). Denn weil sich f(x) und g(x) f"ur alle x , die
zwischen a und b liegen, stetig ver"andern sollen; und a+w
zwischen a und b liegt, sobald nur w<i genommen wird: so m"ussen
f(a+w)-f(a) und g(a+w)-g(a) so klein werden k"onnen, als man nur
will, wenn man w klein genug nimmt. Es ist daher, wenn auch W, W'
[capital omega] Gr"oszen bedeuten, die sich so klein machen lassen,
als man nur immer will, f(a+w)-f(a) = W und g(a+w)-g(a) = W' .
Daher
g(a+w)-f(a+w) = g(a)-f(a)+W'-W .
Allein g(a)-f(a) gleicht nach der Voraussetzung irgend einer
positiven Gr"osze von unver"anderlichem Werthe A . Also ist
g(a+w)-f(a+w) = A+W'-W ,
welches, wenn man W,W' klein genug werden l"aszt, d.h. wenn man dem
w einen sehr kleinen Werth erteile, und dann noch um so mehr f"ur
alle kleineren Werthe, was positiv bleibt.
I. Assume first that both a,b are positive and that b>a , hence
b=a+i with i positive. Since f(a)<g(a) also f(a+w)<g(a+w) where
w can be taken as small as desired. Because f and g are
continuous between a and b , and because a<a+w<b if w<i , also
f(a+w)-f(a) and g(a+w)-g(a) become as small as desired if only
w is taken sufficiently small. Thus if W, W' are arbitrarily small
then f(a+w)-f(a) = W and g(a+w)-g(a) = W' . Hence
g(a+w)-f(a+w) = g(a)-f(a) + W'-W .
Yet g(a)-f(a) is a positive constant A . Hence
g(a+w)-f(a+w) = A + W'-W ,
and this remains positive if W, W' are sufficiently small [it
suffices: W ], i.e. if w is very small, and that holds much
more so for all smaller values [of w ].
[Rephrasing the argument, begin with A = g(a)-f(a) > 0 . Given
e>0 , choose W (and W') such that A+W'-W < e . By continuity,
determine D such that f(a+w)-f(a) <= W and g(a+w)-g(a) <= W' for
all w<D and all w<D . Then g(a+w)-f(a+w) < e for all w<D .]
Also l"aszt sich von
allen w , die kleiner als ein gewisses sind, behaupten, dasz die
zwey Functionen f(a+w) und g(a+w) in dem Verh"altnisse der
kleineren Gr"osze zu einer gr"oszeren stehen. [p.53] Bezeichnen wir
diese Eigenschaft der ver"anderlichen Gr"osze w durch M ; so k"onnen
wir sagen, dasz alle w , die kleiner als ein gewisses sind, die
Eigenschaft M besitzen. Dass aber diese Eigenschaft gleichwohl
nicht allen Werthen von w zukomme, nahmentlich nicht dem Werte
w=i ; ist daraus klar, weil f(w+i)=f(b) nach der Voraussetzung
nicht mehr < , sondern >g(a+i)=g(b) ist. Zufolge des Lehrsatzes
para.12 musz es daher eine gewisse Gr"osze U geben, welche die
gr"oszte unter denjenigen ist, von denen sich behaupten l"aszt, dasz
alle w die <U sind, die Eigenschaft M an sich tragen.
Hence it can be shown for all w , which are smaller than a
certain one, that {of} the function {values} f(a+w) is a larger
and g(w+a) is a smaller magnitude. Denoting the latter property
of the variable w by M , we can say that all w below a certain
one have the property M . But not all values of w have the
property M , in particular not w=i , because by hypothesis
f(w+i)=f(b) is not smaller, but larger than g(a+i)=g(b). Thus
by the theorem of para.12 there must be a magnitude U which is
largest among those of which it can be said that all w with w<U
habve the property M .
2. Und dieses U musz innerhalb 0 und i liegen. Denn es kann
erstlich nicht =i seyn; indem diesz hiesze, dasz jedes f(a+w)<g(a+w)
sey, so oft nur w<i ist, es m"oge "ubrigens dem Werthe i auch noch
so nahe kommen. Allein ganz auf dieselbe Art, wie wir so eben
erwiesen, dass die Voraussetzung f(a)<g(a) die Folge f(a+w)<g(a+w)
nach sich zieht, sobald man nur w klein genug nimmt, l"aszt sich
auch darthun, dasz aus der Voraussetzung f(a+i)>g(a+i), die Folge
f(a+i-w)>g(a+i-w) flieszt, sobald man nur w klein genug nimmt.
Also ist es nicht wahr, dasz die zwey Functionen f(x) und g(x) f"ur
alle Werthe von x , die <a+i sind, in dem Verh"altnisse der
kleineren Gr"osze zu einer gr"oszeren stehen. - [p.54] Noch weniger
kann zweytens U>i sein, weil sonst auch i einer der Werthe von w
w"are, die <U sind, und daher auch f(a+i)<g(a+i) seyn m"uszte, was
der Voraussetzung des Lehrssatzes geradezu widerspricht. Also
liegt U , da es doch positiv ist, sich zwischen 0 und i , und
folglich a+U zwischen a und b .
2. And this U must be within 0 and i . Because, first, it cannot
be i since that would mean that always f(a+w)<g(a+w) as long as
w<i , as near as it may approach i . But we just have shown that
f(a)<g(a) implies f(a+w)>g(a+w) for w sufficiently small, and in
the same way we can show that f(a+i)>g(a+i) implies f(a+i-w)>g(a+i-w)
for w sufficiently small. [This is the same argument using
continuity as carried out in detail before.] So it is not the
case that the functions f(x) and g(x) for all values of x below
a+i have the relationsship of a larger to a smaller magnitude. -
Even less so there can hold U>i , because otherwise also i would
be one of the values w satisfying <U , whence f(a+i)<g(a+i) which
directly contradicts the theorem's hypotheses. So U , being still
positive, is between 0 and i , hence a+U is between a and b .
3. Es fr"agt sich nun, in welchem Verh"altnisse die Functionen f(x)
und g(x) f"ur den Wert x=a+U zu einander stehen ? Es kann zuv"orderst
nicht f(a+U)<g(a+U) seyn; denn dies g"abe auch f(a+U+w)<g(a+U+w),
wenn man w klein genug ann"ahme; und folglich w"are a+U nicht der
gr"oszte Werth, von dem behauptet werden kann, dass alle unter ihm
stehende x die Eigenschaft M haben. - Eben so wenig kann zweytens
f(a+U)>g(a+U) sein; weil diesz auch f(a+U-w)>g(a+U-w) g"abe, sobald
man w nur klein genug nimmt; und also w"are gegen die Voraussetzung
die Eigenschaft M nicht von allen x , die unter a+U stehen, wahr.
Es bleibt denn also nichts anderes "ubrig, als dass f(a+U)=g(a+U)
sey; und folglich ist erwiesen, dasz es einen zwischen a und b
liegenden Werth von x , n"ahmlich a+U gibt, f"ur welchen f(x)=g(x)
wird.
3. There now is the question in which relationship to each other
the functions f(x) and g(x) stand for the argument x=a+U ?
First, there cannot hold f(a+U)<g(a+U) because that would imply
also f(a+U+w)<g(a+U+w) if w is sufficiently small [this is the
same argument using continuity as carried out in detail before];
hence a+U would not be the largest argument such that all x below
it would have the property M . - Secondly, also f(a+U)>g(a+U)
cannot hold because that would imply f(a+U+w)>g(a+U+w) if w is
sufficiently small [this is the same argument using continuity as
carried out in detail before], and this would contradict the
hypothesis that M holds for all x below a+U . So there remains
nothing but f(a+U)=g(a+U) , and thus it has been shown that there
is an argument x between a and b , namely a+U , for which f(x)=g(x).
II. Derselbe Beweis ist auch auf den Fall anwendbar, wenn a und b
beyde negativ sind, sobald man nur unter w , i und U negative
Gr"oszen verstehet; indem a+w , a+i . a+U , a+U-w dann gleichfalls
Gr"oszen zwischen a und b vorstellen.
[55] III. Ist a=0 und b positiv, so nehme man nur auch i (= b), w ,
U positiv; und ist b negativ, auch diese negativ: so wird sich
der Beweis I. w"ortlich anwenden lassen.
II. The same proof can be applied if a and b both are negative,
if only we understand w , i , U as negative, because in that
case also a+w , a+i , u+U , a+U-w are negative magnitudes
between a and b .
III. If a=0 and b is positive, then we take i (= b), w , U
positive, and if b is negative, then we also take those as
negative; then the proof of I. can be applied verbatim.
IV. Wenn endlich a und b von entgegengesetzter Art, und (weil
diesz gleichg"ultig ist) z.B. a negativ und b positiv ist: so sagt
die Voraussetzung des Lehrsatzes in Betreff der Stetigkeit der
Functionen f(x) und g(x), dass diese Stetigkeit sich auf alle
Werthe von erstrecke, die, wenn sie negativ, >a , und wenn sie
positiv, <b sind. Unter diesen ist denn auch der Werth x=0
begriffen. Man untersuche also das Verh"altnisz, welche f(x) und
g(x) f"ur x=0 haben. Ist f(0)=g(0), so ist der Lehrsatz schon von
selbst erwiesen. Ist aber f(0)>g(0), so liegt, weil f(a)<g(a)
seyn soll, nach III. zwischen 0 und a ; ist endlich f(0)<g(0),
zwischen 0 und b ein Werth, f"ur welchen f(x)=g(x) wird. Also gibt
es in jedem Falle einen zwischen a und b liegenden Werth von x ,
der f(x)=g(x) macht.
IV. If, finally, a and b have different sign, and (this being
irrelevant) e.g. a is negative and b positive, then the
hypothesis about then continuity of f(x) and g(x) in our
theorem says that they are continuous for all negative x which
are >a and for all positive x which are <b . Among them there is
the argument x=0 . Thus we look at the relationship which f(x)
and g(x) have at x=0 . If f(0)=g(0) then the theorem holds
already. If f(0)>g(0) then, as f(a)<g(a) by assumption, it
follows from III. that an argument x with f(x)=g(x) is between
0 and a. If, finally, f(0)<g(0) then it follows from III. that
such argument is between 0 and b . Thus in any case an argument
x between a and b with f(x)=g(x) does exist.
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