Subject: [HM] Bolzano and continuity 3 (of 5)
From: Walter Felscher (walter.felscher@uni-tuebingen.de)
Date: Wed Jan 12 2000 - 16:00:45 EST
Section 3.
The theorem about the supremum is proven in para.12 :
Lehrsatz. Wenn eine Eigenschaft M nicht allen Werthen einer
ver"anderlichen Gr"osze x , wohl aber allen, die kleiner sind, als
ein gewisser u , zuk"ommt: so gibt es allemahl ein Gr"osze U , welche
die gr"oszte derjenigen ist, von denen behauptet werden kann, dass
alle kleineren x die Eigenschaft M besitzen.
Theorem. If a property M does not hold for all values of a
variable magnitude x , but holds for all that are less than a
certain u , then there exists a magnitude U which is the
largest of those of which it can be stated that all x below
them have the property M .
[p.42] Beweis. 1. Weil die Eigenschaft M von allen x , die
kleiner sind als u , und gleichwohl nicht von allen "uberhaupt
gilt, so gibt es sicher irgend eine Gr"osze V=u+D (wobey D etwas
positives vorstellt), von der sich behaupten l"aszt, dasz M nicht
allen x , die < V=u+D sind, zukomme. Wenn ich daher die Frage
aufwerfe, ob M wohl allen x , die < u + D/2^m sind, zukomme ? und
den Exponenten m der Ordnung nach, erst 0 , dann 1 , dann 2 ,
dann 3, u.s.w. bedeuten lasse: so bin ich gewisz, dasz man die
erste meiner Fragen mir wird verneinen m"ussen. Denn die Frage, on
M wohl allen x , die < u + D/2^0 sind, zukomme, ist einerley mit
der, ob M allen x , die < u+D sind, zukomme; welches nach der
Voraussetzung zu verneinen ist. Es k"ommt nur darauf an, ob man
mir auch alle folgenden Fragen, welche entstehen, indem ich m
nach und nach immer gr"oszer ansetze, verneinen wird. Sollte dieses
der Fall seyn; so ist einleuchtend, dasz u selbst der gr"oszte der
Werthe ist, von welchen die Behauptung gilt, dasz alle x , die
kleiner als er sind, die Eigenschaft M besitzen. Denn g"abe es
noch einen gr"oszeren z.B. u+d ; d.h. g"alte die Behauptung, dasz
auch noch alle x , die <u+d sind, die Eigenschaft M haben: [p.43]
so ist doch offenbar, dasz wenn ich m grosz genug annehme, u + D/2^m
einmahl = oder <u+d wird; und folglich m"uszte, wenn M allen x ,
die <u+d sind, zuk"ommt, dasselbe auch allen x , die < u + D/2^m
sind, zukommen; also h"atte mir diese Frage nicht verneint,
sondern bejahet werden m"ussen. Es ist daher erwiesen, dasz es in
diesem Falle (wo man mir alle obigen Fragen verneint) eine
gewisse Gr"osze U (n"ahmlich u selbst) gebe, welche die gr"oszte
derjenigen ist, von denen die Behauptung gilt, dasz alle unter ihr
stehende x die Eigenschaft M besitzen.
Proof. As M holds for all x below u , but not for all x at all,
there exists V=u+D (with D positive) such that M does not hold
for all x below V . So if I ask whether M holds for all x below
u + D/2^m , m=0,1,2,3,... , then the first of these questions
receives the answer No, because it asks whether M holds for all
x below u+D , and this is not the case by assumption on V .
What matters is whether also the following questions receive
the answer No which come up for successive positive m . If that
is so, then u itself will be the largest value such that all x
below it have the property M . Because would there be one above
u , say u+d , such that M holds for all x below u+d , then for
m sufficiently large u + D/2^m would become less or equal to
u+d , hence M also holds for all x below u + D/2^m , and thus
the reply to the question should have been Yes insted of No.
Thus it has been shown that, if all above questions receive the
answer No, then there is a magnitude U (namely u itself) which
is the largest among those such that all x below them have the
property M .
2. Wird mir dagegen die obige Frage einmal bejahet, und ist m der
bestimmte Werth des Exponenten, bey dem man sie mir zuerst bejahet
( m kann auch 1 bedeuten; aber, wie wir gesehen, nicht 0 ): so
weisz ich nun, dasz die Eigenschaft M allen x , die < u + D/2^m
sind, aber schon nicht mehr allen, die < u + D/2^m-1 sind, zukomme.
Der Unterschied zwischen u + D/2^m-1 und u + D/2^m ist aber = D/2^m .
Wenn ich daher mit diesem wieder, wie vorhin mit dem Unterschied
D verfahre; d.h. wenn ich die Frage aufwerfe, ob M wohl allen x ,
die < u + D/2^m + D/2^m+n sind, zukomme; [p.44] und hier den
Exponenten n erst 0 , dann 1 , dann 2 , u.s.w. bedeuten lasse: so
bin ich abermahl gewisz, dasz man mir wenigstens die erste dieser
Fragen wird verneinen m"ussen. Denn fragen, ob M allen x , die
< u + D/2^m + D/2^m+0 sind, zukomme, heiszt eben so viel, als
fragen, ob M allen x , die < u + D/2^m-1 sind, eigen sey; was man
schon vorhin verneinet hatte. Sollte man aber auch alle meine
folgenden Fragen verneinen, so grosz ich auch n nach und nach
mache: so w"urde, wie vorhin, erhellen, u + D/2^m sey jener gr"oszte
Werth, oder das U , von welchem die Behauptung gilt, dasz alle
unter ihm stehende x die Eigenschaft M besitzen.
2. If, however, the above question once receives the answer Yes, and
if m is the exponent for which this happens the first time ( m can
be 1 , but we have seen that it cannot be 0 ) then M holds for all
x < u + D/2^m but not for all x < u + D/2^m-1 . The difference
between u + D/2^m-1 and u + D/2^m is D/2^m . If I proceed with that
difference as I proceded before with the difference D , i.e. if I
ask whether M holds for x < u + D/2^m + D/2^m+n , where n may be 0,
1, 2 , and so on, then I know again that at least the first of these
questions will receive the answer No . Because to ask whether M
holds for all x < u + D/2^m + D/2^m+0 means to ask whether M holds
for all x < u + D/2^m-1 , and that we had refuted already. And
should all my following questions be answered with No, how large
I would n let grow, then it would follow as before that u + D/2^m
is the largest value, or the U , of which it holds that every x
below it has the property M .
3. Wird mir dagegen eine dieser Fragen bejahet, und geschieht
diesz zuerst bei dem bestimmten Werthe n : so weisz ich nun, dass M
allen x , die < u + D/2^m + D/2^m+n sind, zukomme, aber schon
nicht mehr allen, die < u + D/2^m + D/2^m+n-1 sind. [p.45] Der
Unterschied zwischen diesen beyden Gr"oszen ist = D/2^m+n ; und ich
verfahre mit ihm wieder, wie vorhin mit D/2^m . U.s.w.
3. If, however, one of the questions above receives the answer Yes,
and if this happens the first time for a certain n , then I know
that M holds for all x < u + D/2^m + D/2^m+n but not for all
x < u + D/2^m+ D/2^m+n-1 . The difference between these quantities
is D/2^m+n , and with that I proceed again as I proceded before
with D/2^m . And so on.
4. Wenn ich auf diese Art so lange fortfahre, als man nur immer
will; so sieht man, dasz das Resultat, das ich zuletzt erhalte,
eines von Beydem sein musz.
a. Entweder finde einen Werth von der Form u + D/2^m + D/2^m+n +
... + D/2^m+n+...+r , der sich mir als der gr"oszte darstellt, von
welchem die Behauptung gilt, dasz alle unter ihm stehenden x die
Eigenschaft M besitzen. Diesz geschieht in dem Falle, wenn mir die
Fragen, ob M allen x die
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+n+r
sind, zukomme, f"ur jeden Wert von r verneinet werden.
b. Oder ich finde wenigstens, dasz M zwar allen x , die
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r
sind, zukomme, aber schon nicht mehr allen, die
[p.46] < u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1
sind. Hiebey steht es mir frey, die Anzahl der Glieder in diesen
beyden Gr"oszen durch neue Fragen immer noch gr"oszer zu machen.
4. Continuing in this manner, I arrive at either
a. a value D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r which is the
largest such every x below it has the property M . This happens
if the answer No is given for every r [correction: s ] to the
question whether M holds for every x
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+n+r
[correction: < u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r+s ] or
b. M holds for all x
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r
but not for all
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1 .
Here I am free to enlarge the number of members in both
expressions by posing new questions.
5. Ist nun der erste Fall vorhanden, so ist die Wahrheit des
Lehrsatzes bereits erwiesen. Im zweyten Falle lasset uns bemerken,
dasz die Gr"osze
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r
eine Reihe vorstelle, deren Gliederzahl ich nach Belieben
vermehren kann, und die zur Classe der para.5 beschriebenen
geh"oret; weil sie, je nachdem m,n,...1 entweder alle =1 , oder
zum Theile noch gr"oszer sind, entweder eben so, oder noch st"arker
abnimmt, als eine geometrische Progression,, deren Exponent der
echte Bruch 1/2 ist. Daraus ergibt sich, dasz sie die Eigenschaft
des para.9 habe; d.h. dasz es eine gewisse best"andige Gr"osze gebe,
der sie so nahe kommen kann, als man nur immer will, wenn man die
Menge ihrer Glieder hinl"anglich vermehret. Sey diese Gr"osze U ; so
behaupte ich, die Eigenschaft M gelte von allen x , die <U sind.
Denn g"alte sie von irgend einem x ; das <U ist, z.B. von U-d
[d: delta] nicht; so m"uszte die Gr"osze
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r ,
weil f"ur alle x , die kleiner als sie sind, die Eigenschaft M Statt
finden soll, immer den Abstand d von U behalten. [p.47] Denn
jedes x , das
= u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r - w
[w: omega] ist, so klein auch w sey, besitzt die Eigenschaft M ;
dagegen dem x=U-d soll sie nicht zukommen: also musz
U - d > u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r - w ,
oder
U - (u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r) > d - w
seyn. Mithin k"onnte der Unterschied zwischen U und der Reihe
nicht so klein werden, als man nur immer will; da d-w nicht so
klein werden kann, als man nur immer will, indem sich d nicht
"andert, w"ahrend w kleiner als jede gegebene Gr"osze zu werden
vermag. - Eben so wenig kann aber M von allen x , die <U+s sind,
gelten. Denn weil der Werth der Reihe
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1
dem Werth der Reihe
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r
so nahe gebracht werden kann, als man nur immer will, indem der
Unterschied beyder nur D/2^m+n+...+r ist; weil ferner der Werth
der letzteren Reihe der Gr"osze U so nahe treten kann, als man nur
immer will: [p.48] so k"onnen auch der Werth der ersteren Reihe
und U einander so nahe kommen, als man nur will. Also kann
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1
gewiss <U+e [e: epsilon] werden. Nun aber gilt der Voraussetzung
nach M nicht von allen x , die
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1
sind; um desto weniger also von allen x , die <U+e sind. Also ist
U der gr"oszte Werth, von welchem die Behauptung gilt, dasz alle
unter ihm stehende x die Eigenschaft M besitzen.
5. If the first case takes place then the theorem has been
proven. In the second case observe that
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r
is a series the number of members of which can be enlarged
arbitrarily, and which belongs to the class described in para.5 ,
because m,n,...1 all are at least 1 and so the series decreases
at least as rapidly as a geometric progression with exponent 1/2 .
Thus the series has the property of para.9 , i.e. there is a
constant magnitude to which it approaches as near as desired if
only the number of members is sufficiently large. Let it be U ;
I claim that M holds for all x<U . Because would M not hold for
some x<U , e.g. not for U-d [d: delta], then the magnitude
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r
would keep the distance d from U since all x below it have the
property M . Because every x
= u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r - w
[w: omega] has the property M however small w may be, whereas M
shall not hold for x=U-d , hence
U - d > u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r - w ,
or
U - (u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r) > d - w .
Thus the difference between U and the series could not be made
arbitrarily small because d-w cannot be made arbitrarily small
since d does not change while w becomes arbitrarily small. -
Just as much, M cannot hold for all x which are <U+s . Because
the value of
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1
can be brought arbitrarily near to that of
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r ,
the difference being only D/2^m+n+...+r ist; further the last
series approaches U arbitrarily, and so also the first series
approaches U arbitraily. Hence
u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1
certainly can become <U+e [e: epsilon]. But by hypothesis M does
not hold for all x
< u + D/2^m + D/2^m+n + ... + D/2^m+n+...+r-1 ,
hence even less so for all x < U+e . Thus U is the largest value
for which it holds that all x below it have the property M .
It may be noticed that in this last section of Bolzano's proof there
occur both the letters epsilon and delta, though not in the
relationship in which they are used in today's standard definitions
of continuity and of limits.
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