> (4b) Why did Hilbert in FoG not go
> the route of definitions in a more
> general frame rather than "axioms" not
> dependent on definitions?
> (4c) When did -- and
> why -- this break with the Euclidean style
> of rigor (good definitions first) occur?
> Clearly (?) Hilbert's axiomatic thinking"
> is not Euclidean, but, rather, sets the
> issue of definition aside in favor
> of special axioms.
I may be misunderstanding Mr. Tragesser's emphasis on "good" definitions,
yet to me the method of "axiomatic thinking" appears to be based on the
distinction between explicit (usual) definitions and implicit ones.
It seems that implicit definitions were first considered by J.D.Gergonne in
his "Essai sur la the/orie des de\finitions", Ann.de Math. 9 (1818) 1-35 ,
where he started from the example that a system of equations may uniquely
determine its solution. In this spirit, however, Gergonne then restricted
himself throughout to the case of objects uniquely determined by an
implicit definition.
As noticed in the 1968 Frankfurt dissertation of W.Contro, the first
author to admit implicit definitions with non-unique solutions seems to
have been Peano with his axiomatization of geometry in "I Principii die
Geometria Logicamente Esposti", Torino 1889, where he writes
Si ha cosi una categorie di enti, chiamati punti. Questi enti non
sono definiti. Inoltre, dati tre punti, si considera una relazione
fra essi, indicata colla scrittura c(e)ab , la quale relazione
non e parimenti definita. Il lettore puo intendere col segno 1 una
categoria qualunque di enti, e con c(e)ab una relazione qualunque
fra tre enti di quella categoria; avranno sempre valore tutte le
definizioni che seguono (para 2), e sussisteranno tutte le
proposizioni del para 3. Dipendentemente dal significato attribuito
ai segni non definiti 1 e c(e)ab , potranno essere saddisfatti,
oppure no, gli assiomi. Si un certo gruppo di assiomi a verificato,
saranno pure vere tutte le proposizioni che si deducono, non essendo
queste proposizioni che trasformazioni di quegli assiomi e delle
definizioni.
As noticed already by the late Professor Freudenthal, similar
formulations were used by G.Fano in "Sui postulati fondamentali della
geometria projettiva in uno spazio lineare a un numero qualunque di
dimensioni", Gior. Mat. (Battaglini) 30 (1892) 106-132 :
A base del nostro studio noi mettano una varieta qualsiasi di enti
di qualunque natura; enti che chiameremo, per brevita, punti,
independemente pero, ben intesto, dalla lora stessa natura.
Peano wrote ten years, Fano seven years before Hilbert.
W.F.