| Georg Joachim Rheticus who wrote the introduction to Copernicus' work
| and got it published in Nuremburg in 1543 is also credited with a
| posthumous work _Opus Palatinum de Triangulis_, completed and published
| in 1596, 20 years after his death, by his student Valentin Otto.
| I understand that this work contains tables of values for the
| trigonometric functions calculated to 10 decimal places. I lack access
| to a library which might contain this work.
| ...
According to some sources, Lucio Valentin Otho [1] (who called himself
"Parthenopolitanus") was born around 1550 in Magdeburg [2].
"Gegen 1575 meldete sich bei Rhaeticus ein gewisser Valentinus Otho,
von dem lange Zeit bekannt war, was er selbst ueber sich berichtet,
dass er in Wittenberg von des Rheticus Arbeiten gehoert und sich ihm
darauf als Gehilfen angeboten habe. Er nennt sich _Parthenopolitanus_,
muss also wohl in Magdeburg geboren sein und zwar um 1550, denn
Rhaeticus verglich sein Alter mit dem, in welchem er selbst 25-jaehrig
zu Koppernikus gereist sei. Johann Praetorius hat in einem in der
Muenchner Bibliothek aufbewahrten Schriftstuecke diese Mittheilungen
ergaenzt. Praetorius war es, der 1573 in Wittenberg den Otho auf
Rhaeticus hinwies." [3, p.601]
Otho studied at the University of Wittenberg, where he became acquainted
with the work of Georg Joachim (Rhaeticus). Then, he decided to visit
Joachim, and offered himself to be his assistant. The visit occurred in
a similar fashion to that in which Joachim had met Copernicus. According
to Parthenopolitanus: "We had hardly exchanged a few words on this
and that when, on learning the cause of my visit, he burst forth with
these words:
_Profecto in eadem aetate ad me venis, qua ego ad Copernicum veni_"
( "You come to see me at the same age as I was myself when I visited
Copernicus." [4] )
To my knowledge, very little has been written about Otho's achievements
in mathematics Many authors attach his name to a well-known approximation
of \pi, 355/113, the so-called Chinese value [which results from a peculiar
computation, taking both 377/120 (Ptolemy) and 22/7 (Archimedes) into
account as (377-22)/(120-7)].
Another piece of information about Parthenopolitanus is that he completed
and published Joachim's impressive trigonometric tables [5]; for instance:
_Opus palatinum de triangulis, a Georgio Ioachimo Rhetico
coeptum: L. Valentinus Otho, Principis Palatini Friderici IV.
Electoris Mathematicus consummauit_, Neostadii in Palatinatu.:
Excudebat Matthaeus Harnisius., Ann. Sal. Hum. M.D.XCVI (1596)
Contents:
- Georgii Ioachimi Rhetici Libri tres de fabrica canonis doctrinae
triangulorum.
- Georgii Ioachimi Rhetici De triangulis globi cum angulo recto.
- L. Valentini Othonis Parthenopolitani. De triangulis globi sine
angulo recto libri quinque. Quibus tria meteoroscopia numerorum
accesserunt.
- L. Valentini Othonis Parthenopolitani. Meteoroscopium numerorum
[primum. ... Georgii Ioachimi Rhaetici Magnus] canon doctrinae
triangulorum ad decades secundorum scrupulorum et ad partes
100.0000.0000.
- Tertia series Magni canonis doctrinae triangulorum in quo triquetri
cum angulo recto in planitie minus latus includentium angulum rectum
ponitur partium 10.000.000
The completion and publication of the _Opus Palatinum_ [6] required large
funds, and so its appearance was delayed over and over again, until finally
Otho found an energetic sponsor, the prince Friedrich IV. The _Opus_ was
so named in honor of Friedrich IV [Principis Palatini Friderici IV].
"Da aber die grossen Geldmittel, welche die Vollendung und die
Publikation des Werkes erforderten, nur schwer beschafft werden
konnten, so verzoegerte sich sein Erscheinen immer wieder, bis
endlich Otho an dem Kurfuersten Friedrich IV von der Pfalz einen
thatkraeftigen Goenner fand, dem zu Ehren er dasselbe im Jahre
1596 als "Opus Palatinum" zu Neustadt herausgab. Wir wollen den
Inhalt dieses fundamentalen Werkes einer moeglichst gedraengten
Besprechung unterziehen, indem wir zunaechst die Methode der
Tabellenberechnung, dann die Einrichtung des Kanons und endlich
die trigonometrischen Methoden schildern, deren sich Rhaeticus
und Otho bedienten. Die letzteren waren allerdings zur Zeit, als
das Werk erschien, bereits in mancher Richtung ueberholt." [7, p.213]
In his _Ideae mathematicae_ [8], Adrianus Romanus (1561-1615) -- the very
Adriaan van Roomen who gave \pi to 17 decimal places -- brings to our
attention an _epistola_ sent by Rhaeticus to Peter Ramus (1515-1572),
dated 1568, in which he mentions that large sections of two tables were
completed, a smaller one for a radius r = 10^5, and a large one for
r = 10^15, and also another table which was partially calculated for
r=10^10. Additionally, he says that he has written nine books concerning
the right-angled and certain spherical triangles, and a book concerning
the plane triangle. From this we learn that a major part of Rhaeticus'
giant enterprise was already completed as early as 1568 -- and so 28 years
before its publication by Rhaeticus' pupil.
"In seinen im Jahre 1593 erschienenen _Ideae mathematicae_ teilt
Adrianus Romanus einen Brief des Rhaeticus an Peter Ramus vom Jahre
1568 mit, in welchem dieser angibt, er habe zwei Canones zum groessten
Teile ganz vollendet, einen kleineren fuer de Radius 10^5, und einen
grossen, der teils fuer r=10^10, teils fuer r=10^15 berechnet sei.
Ausserdem erzaehlt er, dass er 9 Buecher ueber das rechtwinklige und
schiefwinklige sphaerische Dreieck und ein Buch ueber das ebene
Dreieck verfasst habe. Wir sehen aus diesem bisher nicht beachteten
Schriftstuecke, dass der groesste Teil des riesenwerkes, zu dessen
Besprechung wir uns jetzt wenden und das von allen Astronomen mit
Sehnsucht erwartet wurde, bereits 1568, also 28 Jahre vor seinem
Erscheinen, von Rhaeticus vollendet war. [7, p.212]
There is a recent article which discusses the relation of Adrianus Romanus
with the trigonometric tables of Georg Joachim Rheticus [9], which might be
of your interest. In order to give you a bird's-eye view of its content,
I attach below a review by Byron L. McAllister for ZfM:
"The paper discusses several of the attempts to compile trigonometric
tables in late XVI, focusing on the manner in which criticisms of each
other's methods sometimes resulted in great improvements in accuracy.
Romanus, who had begun the process of calculating trigonometric tables
himself, had expected Rheticus's methods, which resembled Romanus's own,
to yield a satisfactory set of tables. These, however, were repeatedly
delayed, and it was only in 1596, 22 years after Rheticus's death, that
his tables were finally published, guided by his student Otho. Shortly,
later, Clavius directed Romanus's attention to the accuracy of the
tables, which Romanus found satisfactory for sines and cosines; however,
tangents and secants, calculated as quotients, had not fared so well,
since the compilers had apparently not realized how much more accuracy
is necessary in divisor and dividend in order to secure a desired level
of accuracy in the quotient. The author shows that Romanus's criticisms
of the original tables were widely known and may have been responsible
for the perfection of the Rheticus tables as re-calculated by Pitiscus
and published in 1607."
What follows is a long excerpt [Das Opus Palatinum des Rhaeticus vom Jahre
1596] taken from the classic book by Anton von Braunmuehl (1853-1908) on
the subject [7]:
"Dem ganzen Kanon liegt die Berechnung einer Sinustabelle zugrunde, fuer
die er unter Annahme des Sinus totus r=10^15 die Sinusse aller Winkel
von 0 [degree] bis 90 [degree] in einem Intervall von 45' bestimmte.
Dabei bediente er sich aber ausser der bekannten Regeln folgender zwei,
die er geometrisch ableitete, und die sich in unserer Schreibweise durch
die beiden Formeln ausdruecken lassen:
cos(na) = cos(n-2)a - 2 * sin a * sin(n-1)a
und
sin(na) = 2 * cos a * sin(n-1)a - sin(n-2)a
"Nun setzte er aber sie _Dichotomia_ (Halbierung), fuer welche er
mehrere, jedoch nicht neue Regeln angab, solange fort, bis er auf
einen Winkel kam, dessen Sinus nur noch eine Einheit in der 15.
Dezimalstelle betrug, wozu 43 Halbierungen noetig waren. Der letzte
Winkel, dessen Sinus er auf diese Weise fand, war a = 14^viii 19^ix
16^x 33^xi 45^xii 8^13 27^xiv 54^xv 11^xvi 9^xvii 23^xviii 49^xix
6^xx 5^xxi 37^xxii 30^xxiii, wo die roemischen Ziffern den Rang der
Sexagesimalbrueche bezeichnen, so dass z. B. 33^xi = 33/(60^11) Teile
eines Grades bedeutet. Die Dichotomien stellte er in einer Tabelle
uebersichtlich zusammen. Nachdem num fuer alle in dieser Tabelle
stehenden 44 Winkel die Sinusse und Cosinusse gefunden waren, konnte
er mittelst der Additionsformel die Sinusse und Cosinusse gewisser
Winkel bilden, die sich aus denen der Tafel zusammensetzten. So gewann
er z. B. den Sinus des Winkels b = 29" 59^iii 33^iv 37^v 58^vi 8^vii
30^viii gleich 145.408.594.115, indem er ihn aus den Sinussen der
bezueglich in der 6., 8., 11., und 13. Zeile der Tafel stehenden
Winkel: 42" 11^iii 15^iv, 10" 32^iii 48^iv 45^v, 1" 19^iii 6^iv
5^v 37^vi 30^vii und 19^iii 46^iv 31^v 24^vi 22^vii 30^viii nach dem
Schema 6-(8+11+13) zusammensetzte. Indem Rhaeticus weiter schloss,
dass sich die Sinusse kleiner und nahe gleicher Winkel zu einander
verhalten, wie die Winkel selbst, fand er aus der Proportion
b : 30" = sin b : sin 30" den Naeherungswert sin 30" = 145.444.102.929
und hieraus cos 30" = 999.999.989.423.006. Hiermit ergab sich dann
auch sin 1' und cos 1' und mit deren Hilfe eine Tafel, die Sinusse
und Cosinusse von 1' bis 45' lieferte und die Berechnung dieser
Funktionen fuer Winkel, die in einem Intervall von 1' fortschreiten,
ermoeglichte.
"Es handelte sich jetzt noch darum, die Sinusse und Cosinusse fuer
Dekaden von Sekunden zu finden. Aus den bereits bekannten
Funktionswerten von 30" wurden zu diesem Zwecke zunaechst die Werte
fuer 15" durch Halbieren gesucht, dann aus der Tafel der Halbierungen
sin 5" und cos 5" durch ein aehnliches Verfahren wie das zur
Aufsuchung von sin 30" verwendete gewonnen, und hiermit ergaben sich
unschwer die Werte der Funktionen in einem Intervall von 10".
"Durch diese eigentuemliche Anordnung des ganzen Verfahrens gelang
es Rhaeticus bei der praktischen Berechnung die Dreiteilung ganz zu
vermeiden, theoretisch kannte er sie jedoch sehr wohl, indem er eine
geometrische Ableitung der Teilungsgleichung mitteilte. Wir hoffen
durch diese gedraengte Schilderung dem Leser einen, wenn auch nur
leisen Begriff von der immensen Rechnungsarbeit gegeben zu haben, die
erforderlich war, um nur die Zahlen der beiden Grundfunktionen zu
finden; die der Tangenten und Cotangenten, der Sekanten und Cosekanten
wurden dann mittelst der Beziehungen erhalten, die wir frueher angegeben
haben.
"Die auf diese Weise geschaffene, uebrigens auf 10 Dezimalen abgerundete
Tafel hat die Ueberschrift "Magnus Canon doctrinae triangulorum ad
decades secundorum scrupulorum et ad partes 10.000.000.000" und ist in
der Weise eingerichtet, dass die 6 Funktionen eines jeden Grades je
6 Seiten erfuellen, so dafs der ganze Kanon 543 eigens paginierte
Folioseiten haelt, von denen immer zwei nebeneinander aufliegende in
derselben Weise zusammengehoeren, wie dies bei dem kleinen Kanon von
1551 geschildert wurde. Dieser Tabelle ist aber noch eine zweite
angefuegt, welche fuer den Radius 10 000 000 berechnet ist und von zehn
zu zehn Sekunden fortschreitet. Sie umfasst 180 wieder eigens paginierte
Folioseiten und laeuft von 0 bis 45 und zurueck, wie die anderen Tafeln.
Da sie neben dem weit groesseren Kanon keine rechte Bedeutung mehr hat,
so duerfte sie wohl frueher als dieser von Rhaeticus fertig gestellt und
zu eigener Veroeffentlichung bestimmt gewesen sein.
"Auf die Richtigkeit der im Opus Palatinum niedergelegten Zahlen werden
wir noch weiter unten zu sprechen kommen, sowie auf einige andere Tafeln,
die sich in dem Nachlasse des Rhaeticus und Otho fanden, als dieser in
die Haende des uns schon bekannten Christmann in Heidelberg ueberging.
"Wenden wir uns nun zu der Dreieckslehre des Rhaeticus. Auf Seite 86
des Opus Palatinum beginnt dieselbe mit dem ebenen Dreieck unter der
Aufschrift (eigenes Titelblatt) "Georgii Jo. Rhaetici de triquetris
rectarum linearum in planitie liber unus" und umfasst 19 Seiten, die
ausser den schon mitgeteilten Definitionen und den Angaben ueber die
Behandlung der einzelnen Dreiecksfaelle nur noch folgende bemerkenswerte
Loesung der Aufgabe enthalten, die Winkel eines Dreiecks aus den drei
Seiten zu berechnen. Er beschreibt zuerst in das Dreieck ABC den
Beruehrungskreis mit dem Mittelpunkt D und berechnet die Abschnitte,
welche die vom Zentrum auf die Seiten gefaellten Senkrechten DE, DF,
DG auf diesen bilden in der Form: AG = AF = s - a, BE = BG = s - b,
CF = CG = s - c, wobei 2s = a + b + c gesetzt ist; hieraus findet er
dann fuer den Radius die bekannte Formel \rho^2 = (s-a)(s-b)(s-c)/s,
und damit ergibt sich etwa aus \delta ADG tg A/2 = \rho : AG.
[...]" [7, pp. 213-220]
After the death of Rheticus, Otho finished another work which was published
it in 1598 [10]. Valentin Otho died seven years later.
A few notes and references:
[1] Other spellings are: Lucius V. Othonus, Lucius Valentinus Ottho, Lucius
Ottho, Lucius Valentinus Otto, Valentin Otto.
[2] Smith, David Eugene:
"History of Mathematics", vol. 1: Boston / New York, 1923; reprinted in
New York: Dover Publications, Inc., 1958, cf. (p. 340). Smith suggests
further information in _Bibliotheca Mathematica_, vol XIII (serie 3) p. 264.
[3] Cantor, Moritz Benedikt:
"Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik", vol. II, second ed.,
Lepzig 1900.
[4] Westman, Robert S.:
The Melanchthon Circle, Rheticus, and the Wittenberg Interpretation of the
Copernican Theory, _Isis_, vol. 66, pp. 165-193, 1975.
[5] For a summary of the tables included in the _Opus Palatinum_ see the
"Encyclopaedia Britannica", 11th edition, vol. XXVI, p. 375.
[6] Archibald, Raymond Clare:
"Rheticus, with special reference to his Opus Palatinum", _Mathematical
Tables and Other Aids to Computation_, vol. 3, pp. 552-561, 1949.
[7] von Braunmuehl, Anton:
"Vorlesungen ueber Geschichte der Trigonometrie", vol I, Leipzig: B.G.
Teubner, 1900.
[8] Romanus, Adrianus [van Roomen, Adriaan]:
_Ideae Mathematicae: Pars prima, sive methodus polygonorum qua laterum,
perimetrorum et arearum cujuscunque polygoni investigandorum ratio
exactissima [et] certissima, una cum circuli quadratura continentur_,
Antwerpiae: apud Ioannem Keerbergium, 1593.
[9] Bockstaele, Paul:
"Adrianus Romanus and the Trigonometric Tables of Georg Joachim Rheticus"
(pp. 55-66) in "Amphora: Festschrift fu"r Hans Wussing zu seinem 65.
Geburtstag" [_Festschrift_ for Hans Wussing on the Occasion of his 65th
Birthday], edited by S.S. Demidov, M. Folkerts, D.E. Rowe, and C.J. Scriba,
Basel: Birkhaeuser, xi, 782 pages, 1992. [ISBN: 3-7643-2815-0]
[10] Rhaeticus, Georg Joachim:
"Thesaurus mathematicus: siue, Canon sinuum ad radium 1.00000.00000.00000.
et ad dena quaeque scrupula secunda quadrantis: vna cum sinibus primi et
postremi gradus, ad eundem radium, et ad singula scrupula secunda quadrantis:
adiunctis vbique differentiis primis et secundis: atq[ue] vbi res tulit,
etiam tertijs / Iam olim quidem incredibili labore & sumptu a Georgio
Ioachimo Rhetico supputatus: at nunc primum in lucem editus, & cum viris
doctis communicatus a Bartholomaeo Pitisco Grunbergensi Silesio", Francofurti: excudebat Nicolaus Hoffmannus, sumptibus Ionae Rosae, anno M. D. XIII. [an
error; it should be: 1613].
[11] Zeller, Mary Claudia:
"The Development of Trigonometry from Regiomontanus to Pitiscus", (PhD
thesis, University of Michigan, 1944), Ann Arbor, Michigan, Lithoprinted
by Edwards Bros., Inc., 1946.
[12] Bond, J. D.:
"The Development of Trigonometric Methods Down to the Close of the XVth
Century", _Isis_, vol. 4 (1921/1922), pp. 295-323.
With best wishes from Montevideo,
Julio Gonzalez Cabillon